Информатика. 11 класс. Поляков К.Ю. § 6. Модели и моделирование
13. Почему для того, чтобы доказать выигрыш какого-то игрока в заданной начальной позиции, не нужно строить полное дерево игры?
Ответ
Доказать выигрыш игрока в заданной начальной позиции без построения полного дерева игры можно за счет использования ряда методов и стратегий, которые позволяют сократить количество анализируемых позиций. Это связано с тем, что во многих играх можно найти выигрышные стратегии и доказать выигрыш или проигрыш игрока, рассматривая только ключевые позиции, а не все возможные варианты развития игры.
Основные причины:
- Использование симметрии:
- В играх, где существует симметрия, многие ходы могут приводить к эквивалентным или похожим позициям. Вместо того чтобы анализировать все варианты, можно рассмотреть только одну ветвь дерева и сделать вывод о других ветвях по аналогии.
- Метод обратного анализа (Backward Induction):
- Для игр с конечным числом ходов можно начать анализ с конечных позиций и постепенно двигаться назад к начальной позиции. Если из всех возможных ходов в каждой промежуточной позиции только один приводит к выигрышной позиции, можно сделать вывод о выигрыше без полного построения дерева игры.
- Оптимальная стратегия и минмакс:
- В игре с полной информацией (например, шахматы) игрок может использовать минмакс-алгоритм, который рассматривает только критические позиции. Если один ход явно лучше других, можно сосредоточиться на этой ветви, игнорируя остальные.
- Альфа-бета-отсечение:
- В алгоритме минмакс используется альфа-бета-отсечение, чтобы отсекать целые ветви дерева, если становится ясно, что они не приведут к выигрышу. Это позволяет существенно сократить количество анализируемых ходов.
- Известные теоремы и леммы:
- В некоторых играх существуют известные теоремы или леммы, которые можно применить для доказательства выигрыша в определённых позициях. Например, в шахматах известны положения, где один игрок всегда может победить при определённых комбинациях фигур, что позволяет не рассматривать все варианты развития игры.
- Эвристики и эвристические оценочные функции:
- В сложных играх, таких как шахматы или го, используются эвристики для оценки позиций. Если позиция явно «выигрышная» по эвристическим критериям, можно сделать вывод о выигрыше, не углубляясь в подробный анализ всех возможных ходов.
- Примеры из теории игр:
- В некоторых играх, например, в игре Ним, можно доказать выигрыш или проигрыш игрока на основе анализа определённых состояний и движений, не рассматривая всё дерево игры. В таких играх ключевыми являются позиции, которые можно классифицировать как выигрышные или проигрышные, и понимание их свойств помогает делать выводы без полного перебора.
Заключение:
Полное построение дерева игры зачастую не требуется, так как существует множество методов, позволяющих сократить количество рассматриваемых позиций и сосредоточиться на ключевых моментах, которые определяют исход игры. Эти методы позволяют доказать выигрыш или проигрыш в заданной позиции, опираясь на логику, известные стратегии, симметрию и другие подходы, которые уменьшают необходимость полного анализа всех возможных ходов.