§ 5. Правила раскрытия скобок. ГДЗ по Алгебре 7 класс. Колягин.
50. Доказать, что:
1) разность чисел 8m-n и 5m-4n делится на 3, если m и n — натуральные числа;
2) сумма числа 5m-3n и числа, противоположного числу m-7n, делится на 4, если m и n — натуральные числа;
3) при любых значениях a значение выражения 2(3a-5)-(7-(5-6a)) отрицательно;
4) сумма любых двух нечетных чисел является четным числом.
Ответ
1) Чтобы доказать, что разность чисел 8m — n и 5m — 4n делится на 3, нужно показать, что их разность является кратной 3.
Распишем данное выражение:
(8m — n) — (5m — 4n)
Раскроем скобки:
8m — n — 5m + 4n
Объединим одинаковые переменные:
(8m — 5m) + (-n + 4n)
3m + 3n
Вынесем общий множитель 3:
3(m + n)
Таким образом, разность чисел 8m — n и 5m — 4n равна 3(m + n), что является кратным 3. Значит, разность делится на 3.
2) Чтобы доказать, что сумма числа 5m — 3n и числа, противоположного числу m — 7n, делится на 4, нужно показать, что их сумма является кратной 4.
Распишем данное выражение:
(5m — 3n) + (-(m — 7n))
Раскроем скобки:
5m — 3n — m + 7n
Объединим одинаковые переменные:
(5m — m) + (7n — 3n)
4m + 4n
Вынесем общий множитель 4:
4(m + n)
Таким образом, сумма числа 5m — 3n и числа, противоположного числу m — 7n, равна 4(m + n), что является кратным 4. Значит, сумма делится на 4.
3) Для доказательства того, что при любых значениях a значение выражения 2(3a — 5) — (7 — (5 — 6a)) отрицательно, нужно показать, что результат вычислений всегда будет отрицательным.
Раскроем скобки:
2(3a — 5) — (7 — (5 — 6a))
6a — 10 — (7 — 5 + 6a)
6a — 10 — (12 + 6a)
6a — 10 — 12 — 6a
-22
Таким образом, независимо от значения a, значение выражения 2(3a — 5) — (7 — (5 — 6a)) будет всегда равно -22, что является отрицательным.
4) Нечетное число можно представить в виде 2k + 1, где k — целое число.
Пусть у нас есть два нечетных числа: 2k + 1 и 2m + 1.
Их сумма будет:
(2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1).
Заметим, что выражение k + m + 1 также является целым числом, так как k и m — целые числа.
Из этого следует, что сумма двух нечетных чисел 2(k + m + 1) является четным числом.
Таким образом, сумма любых двух нечетных чисел является четным числом.