§ 5. Правила раскрытия скобок. ГДЗ по Алгебре 7 класс. Колягин.
69. Доказать, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.
Ответ
Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться методом математической индукции.
Пусть первое число последовательности равно n. Тогда пять последовательных натуральных чисел будут равны n, n+1, n+2, n+3 и n+4.
Базовый случай: для n = 1:
Сумма первых пяти последовательных натуральных чисел будет равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Известно, что 15 делится на 5 без остатка.
Индукционное предположение: предположим, что если сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с n, делится на 5, то сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с n+1, также будет делиться на 5.
Индукционный шаг: нужно доказать, что если индукционное предположение верно для некоторого n, то оно также верно для n+1.
По предположению индукции, сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с n, делится на 5. Обозначим эту сумму как Sn.
Тогда сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с n+1, будет равна Sn + (n+5), так как мы просто добавляем следующее число n+5 к сумме Sn.
Sn + (n+5) = Sn + n + 5 = (Sn + n) + 5.
По предположению индукции, Sn + n делится на 5. Таким образом, (Sn + n) + 5 также будет делиться на 5.
Таким образом, мы доказали, что если сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с n, делится на 5, то сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с n+1, также будет делиться на 5.
Исходя из базового случая и принципа математической индукции, мы можем заключить, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 для любого натурального числа n.