§ 3. Признаки делимости на 9 и на 3 ГДЗ по Математике 6 класс Мерзляк А.Г.
95. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую — Дима, третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?
Ответ
Представим, как могут развиваться события:
Вариант 1:
1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;
2 ход: Дима хочет помешать и ставит цифру, которая сделает число не кратным 3, например 4;
3 ход: Рома видит, что сумма записанных цифр равна 5 и ставит цифру 1 или цифру 4, что позволит ему исправить ситуацию.
Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр не кратную 3, а Рома исправляет ситуацию.
19 ход. Рома ходит последним и делает сумму цифр полученного числа кратную 3.
Рома выигрывает, поскольку он ходит последним, а цифр 1, 2 и 4 ему достаточно, чтобы сделать кратным число, некратное 3.
Вариант 2:
1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;
2 ход: Дима, несмотря на своё намерение помешать, делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3;
3 ход: Роме приходится писать любую цифру, так как ни одно из разрешённых цифр не кратно 3.
Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр кратную 3, а от действий Ромы ничего не зависит.
18 ход. Дима опять делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3.
19 ход. Рома проигрывает, так как какие бы из цифр 1, 2 или 4 он не записал, сумма всех цифр уже не будет кратной 3.
Вывод:
Для того, чтобы Дима смог помешать Роме, ему надо «поддаться» и на каждом ходу сделать сумму цифр кратную 3. Тогда Рома, который ходит последним, не сможет исправить ситуацию.
Ответ: да, Дима сможет это сделать.