2. С помощью таблиц истинности докажите справедливость следующих тождеств:
а) А ∨ В = A ∧ B;
б) А ∧ В = A ∨ B.
Ответ
а) А ∨ В = A ∧ B;
Данное тождество справедливо.
Объяснение:
При решении данного равенства, мы проверяем данное тождество. (Логическая операция — Эквивалентность)
По таблице истинности составляем значения для левой и для правой части.
Если обе части тождественны, то результат конечного столбика с операцией эквивалентности будет 1 (неравенство справедливо), если разные(не тождественны) — 0.
По таблице прекрасно видно, что данное тождество справедливо.
Таблица истинности:
| A | B | А | В | А∨В | A∧B | А∨В≡A∧B |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
б) А ∧ В = A ∨ B.
Данное тождество справедливо.
Объяснение:
При решении данного равенства, мы проверяем данное тождество. (Логическая операция — Эквивалентность)
По таблице истинности составляем значения для левой и для правой части.
Если обе части тождественны, то результат конечного столбика с операцией эквивалентности будет 1 (неравенство справедливо), если разные(не тождественны) — 0.
По таблице прекрасно видно, что данное тождество справедливо.
Таблица истинности:
| A | B | А | В | А∧В | A∨B | А∧В≡(A∨B) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |