§ 3. Признаки делимости на 9 и на 3 ГДЗ по Математике 6 класс Мерзляк А.Г.
103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?
Ответ
Предположим, что возможно составить такое расписание. Для удобства разделим команды на 2 группы: красную и синюю. По 8 команд в каждой.
- 1, 3, 5 и 7 тур: Команды красной группы играют на своём поле с командами из синей группы, то есть синие будут играть на поле соперника.
- 2, 4, 6 и 8 тур: Команды синей группы играют на своём поле с командами из красной группы, то есть красные будут играть на поле соперника.
После 8 тура получится, что любая команда из красной группы уже сыграла с каждой командой из синей группы и наоборот.
Это значит, что дальше команды из красной группы должны играть между собой, а команды из синей группы — между собой.
Но, так как все команды одной группы одинаково чередовали свой и чужой стадион, то получиться, что у одного из соперников порядок чередования нарушится. Например, если должны сыграть 1 и 2 команда из красной группы, то они будут играть на стадионах:
- свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — свой;
- свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — чужой.
То есть второй команде из красной группы придётся 2 раза подряд сыграть на стадионе соперника.
Это противоречит нашему предположению. Значит такое расписание составить невозможно.
Ответ: нет, невозможно.