§ 5. Правила раскрытия скобок. ГДЗ по Алгебре 7 класс. Колягин.
52. В трехзначном числе a сотен, b десятков, c единиц и a>c.
1) Составим и упростить сумму данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке.
2) Составим разность данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. Доказать, что полученная разность делится на 9 и на 11.
Ответ
1) Пусть трехзначное число задано в виде abc, где a — сотни, b — десятки, c — единицы. Число, записанное в обратном порядке, будет cba.
Сумма чисел abc и cba можно записать как abc + cba.
abc = 100a + 10b + c
cba = 100c + 10b + a
Тогда сумма будет:
abc + cba = (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a)
= 100a + 100c + 10b + 10b + c + a
= 101a + 101c + 20b
Упростим выражение:
abc + cba = 101(a + c) + 20b
Таким образом, сумма чисел abc и cba равна 101(a + c) + 20b.
2) Разность чисел abc и cba можно записать как abc — cba.
abc = 100a + 10b + c
cba = 100c + 10b + a
Тогда разность будет:
abc — cba = (100a + 10b + c) — (100c + 10b + a)
= 100a + 10b + c — 100c — 10b — a
= 99a — 99c
Упростим выражение:
abc — cba = 99(a — c)
Таким образом, разность чисел abc и cba равна 99(a — c).
Чтобы доказать, что полученная разность делится на 9, нужно показать, что (a — c) является кратным 9. Это верно, так как 9 делит все числа, состоящие из девятициферных повторений одной и той же цифры (например, 99, 999, 9999 и т.д.).
Чтобы доказать, что полученная разность делится на 11, можно воспользоваться правилом делимости на 11. Согласно этому правилу, разность суммы альтернирующих цифр числа исходного числа также должна делиться на 11. В данном случае, это равносильно тому, что (a + c) — (b + b) = (a — c) должно делиться на 11. Так как (a — c) уже является кратным 11, полученная разность также делится на 11.
Таким образом, полученная разность 99(a — c) делится как на 9, так и на 11.