§ 39. Распределительное свойство умножения ГДЗ по Математике 6 класс Мерзляк А.Г.
1122. (1114) В вершинах куба записаны восемь различных чисел. Докажите, что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трёх соседних чисел (соседними называют числа, записанные на концах одного ребра).
Ответ
Для доказательства этого утверждения, рассмотрим разность каждого числа на вершинах куба и среднего арифметического трех соседних чисел, и посмотрим, какие значения этих разностей могут принимать.
Пусть a, b, c, d, e, f, g, h — числа на вершинах куба.
Среднее арифметическое трех соседних чисел можно представить как (a + b + e) / 3, (b + c + f) / 3, (d + e + h) / 3 и (g + h + c) / 3.
Разность между одним из чисел на вершинах куба и средним арифметическим трех соседних чисел будет иметь вид:
(a + b + e)/3 — a = (b + e — 2a)/3,
(b + c + f)/3 — b = (c + f — 2b)/3,
(d + e + h)/3 — d = (e + h — 2d)/3,
(g + h + c)/3 — g = (h + c — 2g)/3.
Рассмотрим эти разности отдельно.
Разность (b + e — 2a)/3 может быть положительной, отрицательной или нулевой.
Аналогично, разности (c + f — 2b)/3, (e + h — 2d)/3 и (h + c — 2g)/3 могут быть положительными, отрицательными или нулевыми.
Затем, объединим все эти разности в одну группу:
((b + e — 2a)/3, (c + f — 2b)/3, (e + h — 2d)/3, (h + c — 2g)/3).
У каждой разности в этой группе есть три возможных значения: положительное, отрицательное или нулевое. Это означает, что всего возможных комбинаций значений для всех четырех разностей равно 3^4 = 81.
Однако, на вершинах куба записаны только 8 различных чисел, следовательно, как минимум две разности должны иметь одинаковые значения.
Теперь предположим, что все разности принимают положительные или отрицательные значения. В таком случае, по крайней мере две из них будут иметь одинаковые значения.
Предположим, что все разности положительны, тогда сумма двух из них будет больше суммы оставшихся двух, что противоречит тому, что среднее арифметическое трех соседних чисел должно быть более или менее равномерным.
Аналогично, предположим, что все разности отрицательны, тогда сумма двух из них будет меньше суммы оставшихся двух, что также противоречит равномерному распределению среднего арифметического трех соседних чисел.
Таким образом, по крайней мере две из разностей должны быть нулевыми, что означает, что хотя бы одно из чисел на вершинах куба будет меньше среднего арифметического трех соседних чисел.
Таким образом, утверждение доказано.