ГДЗ По Математике 6 Класс. Решение задач с помощью уравнений.

ГДЗ по математике 6 класс Мерзляк 42. Решение задач с помощью уравнений

ГДЗ по Математике 6 класс Мерзляк А.Г. § 42. Решение задач с помощью уравнений


Вопросы к параграфу

1. Найдите произведение корней уравнения (х + 6)(x — 1,5) = 0.

2. Какие из данных уравнений не имеют корней: 1) х + 4 = 1; 2) 0x = 0; 3) х — 2 = 5 + x; 4) х * х = х; 5) |x| +2 = 1?

3. Вычислите значение выражения: 1) (1-3/4*2/3) : 5/24; 2) 4/39 : (1-7/9 *3/7).

Решаем устно

Найдите произведение корней уравнения (х+ 6)(х- 1,5) = 0.

Какие из данных уравнений не имеют корней: 1)х+4=1; 2) Ох = 0; 3)х-2 = 5+х; 4) х * х = х; 5) |х| + 2 = 1?

Вычислите значение выражения: 1) (1 – 3/2 * 2/3) : 5/24; 2) 4/39 : (1 – 7/9 * 3/7).

Упражнения

1173. Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения является натуральным числом: 1) mх = 20; 2) (m + 3)х = -18.

1174. Сколько процентов число 4 составляет от обратного ему числа?

1175. Сколько процентов число 5 составляет от числа, являющегося его квадратом?

1176. Некоторое число сначала увеличили на 10%, а потом уменьшили результат на 10%. Установите, полученное число больше или меньше исходного и на сколько процентов.

1177. Нa столе стояла коробка с конфетами. Женя взял половину конфет, а Катя — треть остальных, после чего в коробке осталось 6 конфет. Сколько конфет было в коробке сначала?

1178. Из шести девочек и троих мальчиков надо выбрать одного ученика для дежурства в школьной столовой. Какова вероятность того, что дежурным будет мальчик?

1179. Двузначное число, первая цифра которого 5, разделили на однозначное и получили в остатке 8. Найдите делимое и делитель.

1180. В шахматной доске размером 8X8 клеток вырезали крайнюю левую верхнюю и крайнюю правую нижнюю клетки. Можно ли оставшуюся часть доски замостить косточками домино, покрывая одной косточкой ровно две клетки доски?

1181. На изготовление мечей для Ильи Муромца, Алёши Поповича и Добрыми Никитича пошло 250 пудов железа. Меч Ильи Муромца в 2 раза тяжелее меча Алёши Поповича, а меч Добрыми Никитича — на 14 пудов тяжелее меча Алёши Поповича. Сколько пудов железа пошло на меч Ильи Муромца?

1182. Суммарная масса фрекен Бок, Карлсона и Малыша равна 174 кг. Масса Малыша в 4 раза меньше массы фрекен Бок и на 30 кг меньше массы Карлсона. Найдите массу каждого из них.

1183. Периметр треугольника равен 166 см. Одна из его сторон в 5 раз больше второй, которая на 68 см меньше третьей. Вычислите длины сторон треугольника.

1184. Одна сторона треугольника в 7 раз меньше второй и на 66 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 174 см.

1185. Килограмм апельсинов дороже килограмма яблок на 64 р. За 5 кг апельсинов заплатили столько, сколько за 9 кг яблок. Сколько стоит 1 кг апельсинов? 1 кг яблок?

1186. 3а 6 кг мармелада заплатили столько, сколько за 3,5 кг шоколадных конфет. Какова цена каждого вида сладостей, если 1 кг мармелада дешевле 1 кг шоколадных конфет на 250 р.?

1187. Машина бабушка засолила 122 кг капусты б 7 больших и 4 маленьких кадках. Сколько килограммов капусты входило в каждую кадку, если в большой кадке было на 8 кг капусты больше, чем в маленькой?

1188. Фермер продал 8 кг свинины и 15 кг говядины за 10 380 р. Сколько стоил 1 кг свинины и сколько 1 кг говядины, если свинина дешевле говядины па 140 р. за килограмм?

1189. Пешеход преодолел расстояние между двумя посёлками за 7 ч, а всадник — за 3 ч. Найдите скорости пешехода и всадника, если скорость пешехода на 5,6 км/ч меньше скорости всадника.

Пусть x км/ч скорость пешехода, тогда:

x+5,6 км/ч – скорость всадника.

7x км – расстояние, которое прошёл пешеход.

3(x+5,6) км – расстояние, которое проехал всадник.

Так как всадник и пешеход преодолели равное расстояние, то:

7x=3(x+5,6)

7x=3x+16,8

7x-3x=16,8

4x=16,8

x=16,8:4

x=4,2 км/ч – скорость пешехода.

x+5,6=4,2+5,6=9,8 км/ч – скорость всадника.

Ответ: 4,2 км/ч и 9,8 км/ч.

1190 Для перевозки школьников в спортивный лагерь надо заказать 12 микроавтобусов или 5 больших автобусов. Сколько школьников нужно перевезти, если в большом автобусе на 35 мест больше, чем в микроавтобусе (в автобусах не должно быть свободных мест)?

Пусть x мест в микроавтобусе, тогда:

x+35 мест в большом автобусе.

12x школьников можно разместить в микроавтобусах.

5(x+35) школьников можно разместить в больших автобусах.

Так как и в микроавтобусах и в больших автобусах можно разместить одинаковое количество школьников, то:

12x=5(x+35)

12x=5x+175

12x-5x=175

7x=175

x=175:7

x=25 мест в микроавтобусах.

12x=12•25=300 школьников нужно перевезти.

Ответ: 300 школьников.

1191.(Из «Арифметики» Л. Магницкого.) Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели по одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно дерево осталось не занято. Сколько было скворцов и сколько было деревьев?

1192.Белочки Рыженькая и Желтенькая собирали орехи, причём Рыженькая собрала в 8 раз меньше орехов, чем Жёлтенькая. Тогда Жёлтенькая отдала Рыженькой 42 своих ореха, после чего орехов у белочек стало поровну. Сколько орехов собрала каждая белочка?

Пусть x орехов собрала Рыженькая белочка, тогда:

8x орехов собрала Жёлтенькая белочка.

x+42 орехов стало у Рыженькой белочки.

8x-42 орехов стало у Жёлтенькой белочки.

Так как орехов у белочек стало поровну, то:

x+42=8x-42

8x-x=42+42

7x=84

x=84:7

x=12 орехов собрала Рыженькая белочка.

8x=8•12=96 орехов собрала Жёлтенькая белочка.

Ответ: 12 и 96 орехов.

1193. За три дня яхта капитана Врунгеля преодолела 222 км, причём за второй день она преодолела 7/8 расстояния, пройденного за первый день, а за третий — 90% того, что прошла за первый. Сколько километров проходила яхта каждый день?

1194 Четверо рабочих изготовили 152 детали. Второй рабочий изготовил 5/6 количества деталей, изготовленных первым, третий — 90% того, что изготовил второй, а четвёртый — на 8 деталей меньше, чем третий. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

Пусть x деталей изготовил первый рабочий, тогда:

5/6 x деталей изготовил второй рабочий.

0,9•5/6 x=9/10•5/6 x=(9•5)/(10•6) x=(3•3•5)/(5•2•2•3) x=3/4 x деталей изготовил третий рабочий.

3/4 x-8 деталей изготовил четвёртый рабочий.

Так как всего было изготовлено 152 детали, то:

x+5/6 x+3/4 x+3/4 x-8=152

12/12 x+10/12 x+9/12 x+9/12 x=152+8

(12+10+9+9)/12 x=160

40/12 x=160

x=160:40/12=160•12/40=(40•4•12)/40=48 деталей изготовил первый рабочий.

5/6 x=5/6•48=(5•6•8)/6=40 деталей изготовил второй рабочий.

3/4 x=3/4•48=(3•4•12)/4=36 деталей изготовил третий рабочий.

36-8=28 деталей изготовил четвёртый рабочий.

Ответ: 48, 40, 36 и 28 деталей.

1195. Аладдин купил сливочное мороженое по 12 драхм за порцию и шоколадное — по 18 драхм. Сколько порций каждого вида мороженого приобрёл Аладдин, если всего он купил 24 порции, заплатив за всю покупку 372 драхмы?

Пусть Алладин купил x порций сливочного мороженого, тогда:

24-x порций шоколадного мороженого купил Алладин.

12x драхм было заплачено за сливочное мороженое.

18(24-x) драхм было заплачено за шоколадное мороженое.

Так как всего заплатили 372 драхмы, то:

12x+18(24-x)=372

12x+432-18x=372

18x-12x=432-372

6x=60

x=60:6

x=10 порций сливочного мороженого купил Алладин.

24-x=24-10=14 порций шоколадного мороженого купил Алладин.

Ответ: 10 и 14 порций.

1196. Карлсон купил 16 пирожных по 10 и по 16 крон, заплатив всего 202 кроны. Сколько пирожных каждого вида купил Карлсон?

Пусть Карлсон купил x пирожных по 10 крон, тогда:

16-x пирожных по 16 крон купил Карлсон.

10x крон заплатил Карлсон за пирожные по 10 крон.

16(16-x) крон заплатил Карлсон за пирожные по 16 крон.

Так как всего было заплачено 202 кроны, то:

10x+16(16-x)=202

10x+256-16x=202

16x-10x=256-202

6x=54

x=54:6

x=9 пирожных по 10 крон купил Карлсон.

16-x=16-9=7 пирожных по 16 крон купил Карлсон.

Ответ: 9 и 7 пирожных.

1197.Двум школам выделили на ремонт одинаковую сумму. Когда купили строительные материалы для первой школы стоимостью 400 000 р., а для второй — стоимостью 240 000 р., то в распоряжении второй школы осталось денег в 9 раз больше, чем в распоряжении первой. Сколько рублей было выделено каждой школе на ремонт?

Пусть x рублей выделили каждой школе, тогда:

x-400000 рублей осталось в распоряжении у первой школы.

x-240000 рублей осталось в распоряжении у второй школы.

Так как в распоряжении второй школы осталось денег в 9 раз больше, чем в распоряжении первой, то:

9(x-400000)=x-240000

9x-3600000=x-240000

9x-x=3600000-240000

8x=3360000

x=3360000:8

x=420000 (руб) — выделили каждой школе на ремонт.

Ответ: 420000 рублей.

1198. В две бочки для полива огорода налили одинаковое количество воды. Когда из первой бочки использовали 47 л воды, а из второй — 23 л, то в первой осталось в 3 раза меньше воды, чем во второй. Сколько литров воды было в каждой бочке вначале?

Пусть x литров воды налили в каждую бочку, тогда:

x-47 литров воды осталось в первой бочке.

x-23 литра воды осталось во второй бочке.

Так как в первой бочке осталось в 3 раза меньше воды, чем во второй, то:

3(x-47)=x-23

3x-141=x-23

3x-x=141-23

2x=118

x=118:2

x=59 (л) – воды налили в каждую бочку.

Ответ: 59 литров.

1199.У Андрея было в 5 раз больше денег, чем у Лены. Когда Андрей купил книгу за 240 р., а Лена — куклу за 80 р., то у Лены ос талось на 320 р. меньше, чем у Андрея. Сколько денег было у каждого из них вначале?

Пусть x рублей было у Лены, тогда:

5x рублей было у Андрея.

x-80 рублей осталось у Лены.

5x-240 рублей осталось у Андрея.

Так как у Лены осталось на 320 рублей меньше, чем у Андрея, то:

5x-240-(x-80)=320

5x-240-x+80=320

4x=320+160

4x=480

x=480:4

x=120 (руб) – было у Лены.

5x=5•120=600 (руб) – было у Андрея.

Ответ: 120 и 600 рублей.

1200. В одной кадке было н 4 раза больше мёда, чем в другой. Когда из первой кадки взяли 210 кг мёда, а из второй — 10 кг, то во второй осталось на 20 кг больше, чем в первой. Сколько килограммов мёда было в каждой кадке вначале?

Пусть x кг мёда было во второй кадке, тогда:

4x кг мёда было в первой кадке.

x-10 кг мёда осталось во второй кадке.

4x-210 кг мёда осталось в первой кадке.

Так как во второй кадке осталось на 20 кг мёда больше, чем в первой кадке, то:

x-10-(4x-210)=20

x-10-4x+210=20

4x-x=200-20

3x=180

x=180:3

x=60 (кг) – мёда было во второй кадке.

4x=4•60=240 (кг) – мёда было в первой кадке.

Ответ: 240 и 60 кг.

1201. Из одного города выехал автомобиль со скоростью 65 км/ч, а через 2 ч после этого из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль со скоростью 75 км/ч. Найдите время, которое потратил на дорогу каждый автомобиль до момента встречи, если расстояние между городами равно 690 км.

Пусть x часов ехал до места встречи второй автомобиль, тогда:

x+2 часов ехал до места встречи первый автомобиль.

65(x+2) км проехал до места встречи первый автомобиль.

75x км проехал до места встречи второй автомобиль.

Так как суммарное расстояние, которое проехали до места встречи автомобили, равно расстоянию между городами, то:

65(x+2)+75x=690

65x+130+75x=690

140x=690-130

140x=560

x=560:140

x=4 (ч) – ехал до места встречи второй автомобиль.

x+2=4+2=6 (ч) – ехал до места встречи первый автомобиль.

Ответ: 6 часов и 4 часа.

1202 Из села в направлении города выехал мотоциклист со скоростью 80 км/ч. Через 1,5 ч из города в село выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Сколько часов ехал до встречи каждый из них, если расстояние между городом и селом равно 216 км?

Пусть x часов ехал до места встречи велосипедист, тогда:

x+1,5 часов ехал до места встречи мотоциклист.

80(x+1,5) км проехал до места встречи мотоциклист.

16x км проехал до места встречи велосипедист.

Так как суммарное расстояние, которое проехали до места встречи мотоциклист и велосипедист, равно расстоянию между городом и селом, то:

80(x+1,5)+16x=216

80x+120+16x=216

96x=216-120

96x=96

x=96:96

x=1 (ч) – ехал до места встречи велосипедист.

x+1,5=1+1,5=2,5 (ч) – ехал до места встречи мотоциклист.

Ответ: 1 час и 2,5 часа.

1203. В одном бакс было 140 л воды, а в другом — 108 л. В баках одновременно открыли краны. Из первого бака ежеминутно вытекает 5 л воды, а из второго — 6 л. Через сколько минут во втором баке останется в 2,5 раза меньше воды, чем в первом?

Пусть x минут пройдёт до того момента, когда во втором баке останется в 2,5 раза меньше воды, чем в первом, тогда:

5x литров воды выльется из первого бака.

6x литров воды выльется из второго бака.

140-5x литров воды останется в первом баке.

108-6x литров воды останется во втором баке.

Так как во втором баке останется в 2,5 раза меньше воды, чем в первом, то:

2,5(108-6x)=140-5x

270-15x=140-5x

15x-5x=270-140

10x=130

x=130:10

x=13 — минут пройдёт до того момента, когда во втором баке останется в 2,5 раза меньше воды, чем в первом.

Ответ: 13 минут.

1204 Виталику нужно решить 95 задач, а Мише — 60. Виталик ежедневно решает 7 задач, а Миша — 6. Через сколько дней у Виталика останется вдвое больше нерешённых задач, чем у Миши, если они начали решать задачи в один и тот же день?

Пусть x дней пройдёт до того момента, когда у Виталика останется вдвое больше нерешённых задач, чем у Миши, тогда:

7x задач решит Виталик.

6x задач решит Миша.

95-7x задач останется решить Виталику.

60-6x задач останется решить Мише.

Так как у Виталика останется вдвое больше нерешённых задач, чем у Миши, то:

2(60-6x)=95-7x

120-12x=95-7x

12x-7x=120-95

5x=25

x=25:5

x=5 — дней пройдёт до того момента, когда у Виталика останется вдвое больше нерешённых задач, чем у Миши.

Ответ: 5 дней.

1205.Лодка плыла 1,4 ч по течению реки и 1,7 ч против течения. Путь, который проплыла лодка по течению, оказался на 2,2 км меньше пути, который она проплыла против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна 28 км/ч.

Пусть x км/ч скорость течения реки, тогда:

28+x км/ч – скорость лодки по течению реки.

28-x км/ч – скорость лодки против течения реки.

1,4(28+x) км – проплыла лодка по течению реки.

1,7(28-x) км – проплыла лодка против течения реки.

Так как путь, который проплыла лодка по течению реки, оказался на 2,2 км меньше пути, который она проплыла против течения, то:

1,7(28-x)-1,4(28+x)=2,2

47,6-1,7x-39,2-1,4x=2,2

1,7x+1,4x=47,6-39,2-2,2

3,1x=6,2

x=6,2:3,1

x=2 км/ч — скорость течения реки.

Ответ: 2 км/ч.

1206.Туристы на байдарке плыли 2,4 ч по течению реки и 1,8 ч против течения. Путь, который байдарка проплыла по течению, был на 14,1 км больше, чем путь, пройденный против течения. Найдите скорость байдарки в стоячей воде, если скорость течения равна 2,5 км/ч.

Пусть x км/ч скорость байдарки в стоячей воде, тогда:

x+2,5 км/ч – скорость байдарки по течению реки.

x-2,5 км/ч – скорость байдарки против течения реки.

2,4(x+2,5) км – проплыли туристы по течению реки.

1,8(x-2,5) км – проплыли туристы против течения реки.

Так как путь, который проплыла байдарка по течению реки, был на 14,1 км больше, чем путь, пройденный против течения, то:

2,4(x+2,5)-1,8(x-2,5)=14,1

2,4x+6-1,8x+4,5=14,1

2,4x-1,8x=14,1-6-4,5

0,6x=3,6

x=3,6:0,6

x=6 км/ч — скорость байдарки в стоячей воде.

Ответ: 6 км/ч.

1207. Готовясь к экзамену, ученик планировал ежедневно решать 12 задач. Однако он решал ежедневно на 4 задачи больше, и уже за три дня до экзамена ему осталось решить 8 задач. Сколько дней ученик планировал готовиться к экзамену?

Пусть x дней ученик планировал готовиться к экзамену, тогда:

12x – задач должен решить ученик всего.

12+4=16 задач в день решал ученик.

x-3 дней решал задачи ученик.

16(x-3) задач решил ученик.

Так как за три дня до экзамена ученику осталось решить 8 задач, то:

12x-16(x-3)=8

12x-16x+48=8

16x-12x=48-8

4x=40

x=40:4

x=10 – дней ученик планировал готовиться к экзамену.

Ответ: 10 дней.

1208 Мастер планировал ежедневно изготавливать по 24 детали, чтобы выполнить заказ вовремя. Но поскольку он изготавливал ежедневно па 15 деталей больше, то уже за шесть дней до окончания срока работы он изготовил 21 деталь сверх заказа. Сколько дней мастер должен был работать над заказом?

Пусть x дней мастер должен был работать над заказом, тогда:

24x – деталей всего должен изготовить мастер.

24+15=39 деталей в день изготавливал мастер.

x-6 дней работал мастер.

39(x-6) деталей изготовил мастер.

Так как мастер изготовил на 21 деталь больше, чем было заказано, то:

39(x-6)-24x=21

39x-234-24x=21

15x=234+21

15x=255

x=255:15

x=17 – дней мастер должен был работать над заказом.

Ответ: 17 дней.

1209 В первой цистерне было 900 л воды, а во второй — 700 л. Когда из второй цистерны взяли воды вдвое больше, чем из первой, то в первой осталось воды в 3 раза больше, чем во второй. Сколько литров воды взяли из каждой цистерны?

Пусть x литров воды взяли из первой цистерны, тогда:

2x литров воды взяли из второй цистерны.

900-x литров воды осталось в первой цистерне.

700-2x литров воды осталось во второй цистерне.

Так как в первой цистерне осталось воды в 3 раза больше, чем во второй, то:

3(700-2x)=900-x

2100-6x=900-x

6x-x=2100-900

5x=1200

x=1200:5

x=240 литров воды взяли из первой цистерны.

2x=2•240=480 литров воды взяли из второй цистерны.

Ответ: 240 и 480 литров.

1210. В первой упаковке было 60 кг конфет, а во второй — 100 кг. Когда из второй упаковки продали в 4 раза больше конфет, чем из первой, то в первой осталось в 2 раза больше конфет, чем во второй. Сколько килограммов конфет продали из каждой упаковки?

Пусть x кг конфет продали из первой упаковки, тогда:

4x кг конфет продали из второй упаковки.

60-x кг конфет осталось в первой упаковке.

100-4x кг конфет осталось во второй упаковке.

Так как в первой упаковке осталось в 2 раза больше конфет, чем во второй, то:

2(100-4x)=60-x

200-8x=60-x

8x-x=200-60

7x=140

x=140:7

x=20 кг конфет продали из первой упаковки.

4x=4•20=80 кг конфет продали из второй упаковки.

Ответ: 20 кг и 80 кг.

1211.Каждую минуту в первую бочку из крана наливалось 3 л воды, а во вторую из другого крана — 2 л. В 12 ч в первой бочке было 21 л воды, а во второй — 54 л. Определите, в котором часу в первой бочке было в 4 раза меньше литров воды, чем во второй.

Пусть x минут наливалась вода, тогда:

3x литров воды налилось в первую бочку.

2x литров воды налилось во вторую бочку.

21-3x литров воды было в первой бочке x минут назад.

54-2x литров воды было во второй бочке x минут назад.

Так как в первой бочке было в 4 раза меньше литров воды, чем во второй, то:

4(21-3x)=54-2x

84-12x=54-2x

12x-2x=84-54

10x=30

x=30:10

x=3 минуты назад или в 11 часов 57 минут в первой бочке было в 4 раза меньше литров воды, чем во второй.

Ответ: в 11 часов 57 минут.

1212. В магазине продаётся три вида чашек и два вида блюдец. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Чашку можно выбрать одну из трёх, то есть тремя способами.

Блюдце можно выбрать одно из двух, то есть двумя способами, тогда:

3•2=6 способами можно купить чашку с блюдцем.

Ответ: 6 способов.

1213. В школе шесть 6 классов. В 6 «Б» классе учащихся на одного больше, чем в 6 «А», в 6 «В» — на одного больше, чем в 6 «Б», и так далее. Укажите, каким из следующих чисел обязательно будет общее количество шестиклассников: 1) простым числом; 2) чётным числом; 3) нечетным числом.

Пусть x учеников в 6 «А» классе, тогда:

x+1 учеников в 6 «Б» классе.

x+2 учеников в 6 «В» классе.

x+3 учеников в 6 «Г» классе.

x+4 учеников в 6 «Д» классе.

x+5 учеников в 6 «Е» классе.

Тогда всего учеников в этих классах:

x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5=6x+15

6x – чётное число, так как произведение чётного и натурального числа число чётное.

Тогда 6x+15 всегда нечётное число, так как сумма чётного и нечётного числа число нечётное.

Ответ: нечётным числом.

1214 В записи двузначного числа зачеркнули одну цифру, и оно уменьшилось в 31 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

1•31=31

2•31=62

3•31=93

Ответ: в числе 31 зачеркнули цифру 3.

в числе 62 зачеркнули цифру 6.

в числе 93 зачеркнули цифру 9.

1215. Найдите значение выражения:

1) (-2,04 : 1/25 — 3,61 : (-19/40)):(-2*4/5( + 0,6 : (-0,9);

2) (7,7 : (-11/40) — 3,8 : (-1/20))* (-5/16) — 0,4 : (-0,36).

1216. В записи числа 689 153 401 зачеркните три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили набольшее из возможных чисел.

1217. Из вершины В развернутого угла AВС провели луч ВК так, что угол ABK = 108. Луч BD — биссектриса угла СВК. Вычислите градусную меру угла DBK.

1218. Существуют ли 1 005 натуральных чисел (не обязательно разных), сумма которых равна их произведению?